Samsung Galaxy S4 no enciende se reinicia constantemente y se queda en el logo de Samsung.

Haz una prueba: Deja el cargador conectado y cargando la batería y prueba a encenderlo normalmente a ver si pasa del bootloader.Si no pasa de ahí, intenta encenderlo en modo recovery cómo te comento: con el cargador conectado.
Muchas veces esos síntomas suelen ser de fallo de batería y no dan la tensión correcta para encender el movil.
No digo que sea tu caso pero para ir descartando.

Pues en estos casos yo directamente descargaría una rom (sistema operativo del movil) desde la web de SamMobile y con el programa Odin intentaría instalarlo.Eso es lo normal pero claro,comentas que tu móvil no entra al modo Download o se mantiene poco tiempo allí y se vuelve a reiniciar,así que no creo que puedas.
Lo único que me viene a la mente es algún caso parecido al tuyo en el que el problema era el botón power de encendido que se había averiado y hacia falsos contactos o simplemente se quedada pulsado y por eso los problemas.
Pero yo ahí en temas de hardware no puedo ayudarte mucho,más que algún técnico lo revise.
En YouTube tienes mucho tutoriales de como hacerlo pero ya te digo que no soy técnico y son ideas que te doy a tu problema.
A ver si algún compañero aporta algo más.