Duda con descarga de un archivo dentro de un WebView - Android Studio

buenas mi buen Jose Enrique, tu código a la fecha de hoy funciona demasiado bien, lo integre en una prueba dentro de un Webview que realice y funciono de maravilla, la única diferencia entre el tuyo y mio son 2 lineas, la siguiente:
myRequest.setAllowedNetworkTypes(DownloadManager.Request.NETWORK_WIFI | DownloadManager.Request.NETWORK_MOBILE);
y en el Manifest:

quedando el codigo de la siguiente manera (MainActivity.java):

wv1.setDownloadListener(new DownloadListener() {
@Override
public void onDownloadStart(String url, String userAgent, String contentDisposition, String mimetype, long contentLength) {

            //Variable objeto para enlazar la descarga
            DownloadManager.Request myRequest = new DownloadManager.Request(Uri.parse(url));

            //Permitir tipos de red para descargar archivos
            myRequest.setAllowedNetworkTypes(DownloadManager.Request.NETWORK_WIFI | DownloadManager.Request.NETWORK_MOBILE);

            myRequest.setMimeType(mimetype);
            String cookies = CookieManager.getInstance().getCookie(url);
            myRequest.addRequestHeader("cookie",cookies);
            myRequest.addRequestHeader("User-Agent",userAgent);
            myRequest.setDescription("Nube - Archivo descargado");
            myRequest.setTitle(URLUtil.guessFileName(url,contentDisposition,mimetype));

            /*NOTA: esta version de descarga fue desaprobada en las versiones Android API 29 en adelante
            evitando el acceso directo a los dispositivos de almacenamiento externo*/
            myRequest.allowScanningByMediaScanner();
            myRequest.setNotificationVisibility(DownloadManager.Request.VISIBILITY_VISIBLE_NOTIFY_COMPLETED);

            myRequest.setDestinationInExternalPublicDir(Environment.DIRECTORY_DOWNLOADS, URLUtil.guessFileName(url, contentDisposition, mimetype));

            DownloadManager myManager = (DownloadManager)getSystemService(DOWNLOAD_SERVICE);
            myManager.enqueue(myRequest);

            Toast.makeText(MainActivity.this,"Descargando archivo...",Toast.LENGTH_LONG).show();
        }
    });

si no te llego a funcionar lo más seguro es que fue tu back de la pagina, saludos buen hombre.

Lo implemente a mi aplicación y al momento de descargar dice Se cerró la aplicación y se sale: este es el código de toda mi activity

package com.suptecsoft.MC_APK;

import android.app.Activity;
import android.app.AlertDialog.Builder;
import android.app.DownloadManager;
import android.content.Context;
import android.content.DialogInterface;
import android.content.BroadcastReceiver;
import android.content.DialogInterface.OnClickListener;
import android.database.Cursor;
import android.net.Uri;
import android.os.Bundle;
import android.os.Environment;
import android.os.Handler;
import android.os.ParcelFileDescriptor;
import android.view.KeyEvent;
import android.webkit.GeolocationPermissions.Callback;
import android.webkit.JavascriptInterface;
import android.webkit.WebChromeClient;
import android.webkit.WebSettings;
import android.webkit.WebSettings.PluginState;
import android.webkit.WebStorage.QuotaUpdater;
import android.webkit.WebView;
import android.webkit.WebViewClient;
import android.webkit.DownloadListener;
import android.webkit.URLUtil;
import android.webkit.CookieManager;
import android.widget.ProgressBar;
import android.widget.Toast;

import java.io.File;
import java.io.FileNotFoundException;

public class Actividad extends Activity {
private final int PAGE_REEIRECT;
private final int PAGE_STARTED;
private final int REQUEST_CODE_ASK_MULTPLE_PERMISSIONS;
private boolean canExitApp;
ProgressBar carga;
public String fileName;
WebView webView;
private int webViewPreviousState;

class AnonymousClass_1 extends WebViewClient {
    final /* synthetic */ Actividad this$0;

    AnonymousClass_1(Actividad r1_Actividad) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
    }

    public boolean shouldOverrideUrlLoading(WebView r2_WebView, String r3_String) {
        return false;
    }
}

class AnonymousClass_2 extends WebChromeClient {
    final /* synthetic */ Actividad this$0;

    AnonymousClass_2(Actividad r1_Actividad) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
    }

    public void onExceededDatabaseQuota(String r3_String, String r4_String, long r5j, long r7j, long r9j, QuotaUpdater r11_QuotaUpdater) {
        r11_QuotaUpdater.updateQuota(5242880);
    }

    public void onGeolocationPermissionShowPrompt(String r3_String, Callback r4_Callback) {
        r4_Callback.invoke(r3_String, true, false);
    }

    public void onProgressChanged(WebView r3_WebView, int r4i) {
        this$0.carga.setProgress(0);
        this$0.carga.setVisibility(0);
        this$0.setProgress(r4i * 1000);
        this$0.carga.incrementProgressBy(r4i);
        if (r4i == 100) {
            this$0.carga.setVisibility(8);
        }
    }
}

class AnonymousClass_3 implements Runnable {
    final /* synthetic */ Actividad this$0;

    AnonymousClass_3(Actividad r1_Actividad) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
    }

    public void run() {
        this$0.canExitApp = false;
    }
}

class AnonymousClass_4 implements OnClickListener {
    final /* synthetic */ Actividad this$0;
    private final /* synthetic */ Callback val$callback;
    private final /* synthetic */ String val$origin;

    AnonymousClass_4(Actividad r1_Actividad, Callback r2_Callback, String r3_String) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
        val$callback = r2_Callback;
        val$origin = r3_String;
    }

    public void onClick(DialogInterface r5_DialogInterface, int r6i) {
        val$callback.invoke(val$origin, true, false);
    }
}

class AnonymousClass_5 implements OnClickListener {
    final /* synthetic */ Actividad this$0;
    private final /* synthetic */ Callback val$callback;
    private final /* synthetic */ String val$origin;

    AnonymousClass_5(Actividad r1_Actividad, Callback r2_Callback, String r3_String) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
        val$callback = r2_Callback;
        val$origin = r3_String;
    }

    public void onClick(DialogInterface r4_DialogInterface, int r5i) {
        val$callback.invoke(val$origin, false, false);
    }
}

public class JavascriptHandler {
    final /* synthetic */ Actividad this$0;

    public JavascriptHandler(Actividad r1_Actividad) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
    }

    @JavascriptInterface
    public void jsCallbackTwo(String r1_String) {
    }

    @JavascriptInterface
    public void vali() {
    }
}

class MyJavaScriptInterface {
    private Context ctx;
    final /* synthetic */ Actividad this$0;

    MyJavaScriptInterface(Actividad r1_Actividad, Context r2_Context) {
        super();
        this$0 = r1_Actividad;
        ctx = r2_Context;
    }

    public void showHTML(String r4_String) {
        new Builder(ctx).setTitle("HTML").setMessage(r4_String).setPositiveButton(17039370, null).setCancelable(false).create().show();
    }
}


public Actividad() {
    super();
    canExitApp = false;
    REQUEST_CODE_ASK_MULTPLE_PERMISSIONS = 124;
    PAGE_STARTED = 1;
    PAGE_REEIRECT = 2;
    fileName = "myfile.html";
}

public void onBackPressed() {
    if (!canExitApp) {
        canExitApp = true;
        Toast.makeText(this, "Vuelva a presionar para salir", 0).show();
        new Handler().postDelayed(new AnonymousClass_3(this), 2000);
    } else {
        super.onBackPressed();
    }
}

protected void onCreate(Bundle r5_Bundle) {
    super.onCreate(r5_Bundle);
    setContentView(R.layout.layout);
    carga = (ProgressBar) findViewById(R.id.Carga);
    webView = (WebView) findViewById(R.id.simpleWebView);
    webView.getSettings().setJavaScriptEnabled(true);
    webView.getSettings().setGeolocationEnabled(true);
    webView.getSettings().setAppCacheEnabled(true);
    webView.getSettings().setDomStorageEnabled(true);
    webView.getSettings().setGeolocationDatabasePath(getFilesDir().getPath());
    webView.getSettings().setDatabasePath(new StringBuilder("/data/data/").append(webView.getContext().getPackageName()).append("/databases/").toString());
    webView.addJavascriptInterface(new JavascriptHandler(this), "Android");
    webView.loadUrl(new StringBuilder("file:///android_asset/").append(fileName).toString());
    webView.getSettings().setPluginState(PluginState.ON);
    WebSettings r0_WebSettings = webView.getSettings();
    r0_WebSettings.setDatabaseEnabled(true);
    r0_WebSettings.setDatabasePath(getApplicationContext().getDir("database", 0).getPath());
    webView.setWebViewClient(new AnonymousClass_1(this));
    webView.setWebChromeClient(new AnonymousClass_2(this));

    webView.setDownloadListener(new DownloadListener() {

@Override
public void onDownloadStart(String url, String userAgent, String contentDisposition, String mimetype, long contentLength) {
//Variable objeto para enlazar la descarga
DownloadManager.Request myRequest = new DownloadManager.Request(Uri.parse(url));
//Permitir tipos de red para descargar archivos
myRequest.setAllowedNetworkTypes(DownloadManager.Request.NETWORK_WIFI | DownloadManager.Request.NETWORK_MOBILE);
myRequest.setMimeType(mimetype);
String cookies = CookieManager.getInstance().getCookie(url);
myRequest.addRequestHeader("cookie",cookies);
myRequest.addRequestHeader("User-Agent",userAgent);
myRequest.setDescription("Nube - Archivo descargado");
myRequest.setTitle(URLUtil.guessFileName(url,contentDisposition,mimetype));
/NOTA: esta version de descarga fue desaprobada en las versiones Android API 29 en adelante evitando el acceso directo a los dispositivos de almacenamiento externo/
myRequest.allowScanningByMediaScanner();
myRequest.setNotificationVisibility(DownloadManager.Request.VISIBILITY_VISIBLE_NOTIFY_COMPLETED);
myRequest.setDestinationInExternalPublicDir(Environment.DIRECTORY_DOWNLOADS, URLUtil.guessFileName(url, contentDisposition, mimetype));
DownloadManager myManager = (DownloadManager)getSystemService(DOWNLOAD_SERVICE);
myManager.enqueue(myRequest);
Toast.makeText(Actividad.this,"Descargando archivo...",Toast.LENGTH_LONG).show();
}
});

}

public void onGeolocationPermissionsShowPrompt(String r5_String, Callback r6_Callback) {
    r6_Callback.invoke(r5_String, true, false);
    Builder r0_Builder = new Builder(this);
    r0_Builder.setTitle("Locations");
    r0_Builder.setMessage("Would like to use your Current Location ").setCancelable(true).setPositiveButton("Allow", new AnonymousClass_4(this, r6_Callback, r5_String)).setNegativeButton("Don't Allow", new AnonymousClass_5(this, r6_Callback, r5_String));
    r0_Builder.create().show();
}

public boolean onKeyDown(int r2i, KeyEvent r3_KeyEvent) {
    if (r2i == 4) {
        if (webView.canGoBack()) {
            webView.goBack();
            return true;
        } else {
            finish();
            return super.onKeyDown(r2i, r3_KeyEvent);
        }
    } else {
        return super.onKeyDown(r2i, r3_KeyEvent);
    }
}

}